Probablemente hijo de Thomas Kelway y su esposa, Ann Crosfield, de Chichester, o de Jasper Kellway de  Windsor y su esposa, Mary Brathwait, de Windsor, su padre era vicario laico en la catedral de Chichester. Se convirtió en corista en el coro de la catedral de Chichester en 1704 y estudió órgano con John Reading y Samuel Peirson.

Sucedió a Reading (o a Peirson) como organista en 1720; sin embargo, fue mantenido bajo prueba por un período de 13 años antes de ser confirmado en el oficio en 1733. Kelway murió en el cargo y dejó numerosas composiciones; su “Servicio en Si menor” sigue siendo parte del repertorio del coro. Durante su mandato en la catedral, John Byfield agregó el segundo manual (órgano del coro). También se dice que fue alumno de Johhn Weldon o su maestro Walter de Eton, ya que se dice que sus composiciones llevan rastros de la influencia de Weldon. También puede haber sido por recomendación de Weldon que fue elegido para suceder a Reading como organista de la catedral de Chichester.

Permaneció allí durante veintitrés años, y murió tempranamente a los 54 años de edad. La lápida se perdió de vista durante cien años, y cuando se descubrió accidentalmente fue restaurada y establecida en el pasillo sur de la catedral.

Su hermano Joseph Kelway fue organista de St Michael, Cornhill (1734-1736) y St Martin-in-the-Fields (1736-1781).